介绍
正如之前讨论的 控制理论应用笔记 频域分析在设计和评估反馈系统方面起着至关重要的作用，尤其是在评估其稳定性和整体噪声抑制性能方面。之前的笔记重点介绍了拉普拉斯域的理论原理，而本应用笔记则通过一个实际案例，转向这些概念的实际应用，其中涉及 Moku:Pro 以及压控振荡器（VCO），它是一种电子振荡器，其输出频率根据施加的控制电压而变化，从而允许对信号生成和通信系统等应用进行精确的频率调谐和调制。
A 锁相环（PLL） 是一种反馈系统，可将输出信号的相位和频率与参考输入对齐。它通过相位检测器检测到的参考信号与反馈信号之间的相位差，不断调整压控振荡器 (VCO) 的输出频率来实现这一点。锁相环 (PLL) 因其能够产生稳定、低抖动的信号并精确跟踪变化的参考频率，广泛应用于通信系统、信号合成和时钟恢复。锁相环 (PLL) 也是 Moku 相位计的核心，该仪器以高精度相位和频率测量而闻名，且无死区时间或相位缠绕现象。
本应用笔记介绍了使用 Moku 构建锁相环 (PLL) 锁相放大器，以及其开环传递函数 (OLTF) 的测量和优化。该过程首先通过经验调整确定初始控制器配置。首先对 OLTF 进行建模，然后通过实验测量进行验证，以评估关键稳定性指标，包括相位裕度和增益裕度。这些结果为优化过程提供了参考，旨在提高低频增益，同时保持足够的稳定裕度。最后，比较初始控制器和优化控制器的频率噪声测量值，以评估反馈环路性能的改进。
实验装置
稳定压控振荡器 (VCO) 需要频率参考，通常由高精度源（例如铷原子钟）提供。在本实验中，参考由 Moku Pro 的高精度内部波形发生器提供，该发生器在锁相放大器模块中充当本振。
Moku 平台提供两种主要方法来提取用于 VCO 反馈控制的相位差（也称为误差信号）。第一种方法是使用相位计直接跟踪 VCO 输出的频率和相位。本应用中使用的第二种方法是利用锁相放大器通过本地振荡器解调 VCO 信号以产生误差信号。选择这种方法是因为它结构简单，并且集成了比例-积分-微分 (PID) 控制器，可以直接从解调输出生成 VCO 控制信号。
基于锁定放大器的PLL框图如图1所示。它包括一个参考正弦波发生器 f_{ref}（本振）、一个用于解调的混频器、一个用于消除频率和分量并产生误差信号 e(t) 的低通滤波器，以及一个用于生成反馈控制信号 c(t) 的控制器，该信号施加到VCO的调谐端口以保持频率稳定性。此外，还提供了一个直流偏移电压来为VCO供电。
鉴相器
为了清晰简洁，本应用笔记重点分析锁定条件下的系统。在此条件下，如图 1 所示，误差信号 e(t) 表示参考信号与 VCO 输出之间的残余相位差。该相位差源于两个信号之间的时间积分频率偏差。通过将相位误差保持在零或接近零，系统可确保 VCO 输出频率始终锁定于参考信号。误差信号 e(t) 的数学表达式为：
\(e(t) = A \sin{\left( \int f_{VCO}(t)dt \right)} \times \sin{ \left( \int f_{ref}dt \right) } = \frac{A}{2} \cos{\left( \int \left[f_{ref} – f_{VCO}(t) \right] dt \right)} + \frac{A}{2} \cos{\left( \int \left[f_{ref} + f_{VCO}(t) \right] dt \right)}\)。
此设置中的 VCO 标称频率为 62 MHz，而低通滤波器的截止频率为 12.3 MHz，这将在后面的章节中说明。因此，加性频率分量被低通滤波器滤除，只留下减性频率分量。因此，误差信号可以表示如下：
\(e(t) = \frac{A}{2} \cos{\left( \int \left[f_{ref} – f_{VCO}(t) \right] dt \right)} = \frac{A}{2} \sin{\left( \int \left[f_{ref} – f_{VCO}(t) \right] dt + 90^{\Large\circ} \right)}\)
在锁定状态下，φ(t) 约为 -90°，误差信号 e(t) 仅在零附近轻微波动，这主要是由于残余噪声的影响。利用泰勒展开式，正弦波形可以表示为
\(\sin{x} = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} + …\)
当 x 在锁定状态下仅在零点附近轻微振荡时，正弦波形在此点表现出良好的线性度，因为高阶分量可以忽略不计。这允许近似 sin{x} \approx x\。因此，即使本振和 VCO 输出之间存在恒定的 90° 相位偏移，e(t)\ 的幅度也能直接指示相位误差。
此外，鉴相器的增益与幅度相关，并随VCO信号的幅度而变化。评估控制系统的性能时必须考虑这种依赖性。因此，误差信号可以用以下表达式近似表示：
\(e(t) \approx \frac{A}{2} \times \left( \phi(t) + 90^{\Large\circ} \right) \)
其中 \(A\) 表示 VCO 信号的幅度，\(\phi(t) \) 表示瞬时相位偏差。
锁相放大器配置
按照图 1 所示的 PLL 框图，图 2 显示了锁定放大器的配置。VCO 输出信号馈入 在一个，同时将本振设置为标称VCO频率62 MHz。低通滤波器截止频率设置为最大值12.3 MHz。此设置可有效抑制频率和分量，并通过减少反馈环路内滤波器引入的相位延迟来最大化控制带宽。用于调节VCO频率的控制信号通过 输出A和 外接 提供稳定的 300 mV 直流电压为 VCO 供电。
值得注意的是，误差信号 \(e(t)\) 被分配给 X 通道，该通道使用同相分量作为误差信号。因此，锁定的VCO输出相对于本振呈现90°的相位差。可以通过将误差信号路由至 Y 通道，它使用正交分量。然而，就本应用笔记而言，相位偏移是可以接受的，因此PLL继续使用 X 通道输出作为误差信号。
使用 PI 控制器的初始锁定
图 3 显示了实验性的多仪器模式设置。其中，分配给插槽 4 的相位计持续监测 VCO 频率。该测量可以精确估算 VCO 的初始频率，从而可以适当地设置锁相放大器中的本振频率。这种方法通常被称为辅助频率采集。此外，还可以使用 Moku 频谱分析仪通过定位频谱峰值来识别 VCO 的输出频率。
自由运行 VCO 频率的测量方法是使用 相位表，频率设置为自动模式。自动获取的初始频率为 62.7654 MHz。锁定放大器的内部参考频率会调整至与 VCO 的初始频率匹配，以实现可靠的初始锁定。基于此测量结果，将本振设置为 62.765 MHz，如图 5 所示。
对于初始锁定，使用粗略估计和经验配置比例积分 (PI) 控制器，以使反馈环路正常工作。在此阶段，PI 控制器尚未优化，尤其是考虑到环路包含两个纯积分器：一个来自 PI 控制器本身，另一个来自 VCO 的频率-相位关系。这种配置会在环路内引入累积的 180 度相移，这可能导致系统容易出现闭环不稳定。
PI 控制器参数如图 6 所示。比例增益设置为 -10 dB，积分器交越频率配置为 100 Hz。因此，控制器的工作带宽有限。它对相位偏差的响应速度较慢，并且仅提供适度的开环增益，对 VCO 频率噪声的抑制效果有限。
启用PI控制器后，相位计测得的频率如图7所示。锁定前，信号表现出恒定的频率偏移和较大的频率变化。PI控制器启动后，频率锁定在62.765 MHz，在选定的垂直刻度下波动可忽略不计。这证明了闭环反馈稳定系统的有效性。
使用相位计测量VCO的剩余频率噪声，该仪器持续记录频率数据，如图8所示。与自由运行的VCO相比，使用PI控制器锁定的VCO在时域中的频率变化有所减小。峰峰值频率噪声从自由运行情况下的±800 Hz降至锁定后的±100 Hz。
图9显示了自由运行和PI锁定VCO的频率噪声幅度谱密度(ASD)。在自由运行情况下，在20 Hz及其谐波处观察到较小的频谱音，可能源于与电网相关的次谐波干扰。
在PI锁定的ASD中，4 kHz偏移频率附近出现了明显的噪声峰值。理想情况下，控制环路应抑制整个带宽内的相位和频率噪声，而不会引入额外的噪声分量。
该峰值的存在表明环路的相位裕度可能不足。当相位裕度过小时，环路增益和相位响应会在单位增益交越频率附近产生谐振行为，从而放大噪声而不是衰减噪声。这种效应被称为噪声峰值，表明环路动态特性可能需要调整。下一节的OLTF分析将进一步探讨这个问题，本文其他部分也讨论了类似的主题。 应用笔记.
开环传递函数测量
要优化 VCO 反馈系统的稳定性和性能，需要详细了解其频域特性。OLTF 是此类分析的关键工具，因为它能够深入了解系统增益、相位裕度和整体稳定性。这些特性直接决定了应如何调整控制器的比例、积分和微分分量。本节首先介绍 OLTF 及其获取方法，然后讨论其如何指导系统优化。
循环模型
图 10 显示了反馈环路的简化模型。在该模型中，鉴相器表示为减法器，反映了其在锁定状态下的功能：输出参考信号与 VCO 输出之间的相位差。如前所述，解调过程负责产生此相位误差。在锁定状态下，误差信号的形式如下：
\（e（t）= \phi_{ref} – \phi_{out} \）
它作为控制器的输入。在此基础上，可以推导和测量OLTF，以评估系统稳定性并以系统的方式指导参数调整。
拉普拉斯域中的反馈回路可以用以下方程建模，其中 \(\text{PID}(s)\) 和 \(\text{VCO}(s)\) 分别表示 PID 控制器和 VCO 的传递函数。注意，为简单起见，假设鉴相器（减法器）具有单位增益。在实验中，系统建模过程中需要识别和补偿鉴相器增益。
\(\left(\phi_{ref} – \phi_{out}\right) = \text{PID}(s) \times \text{VCO}(s) = \phi_{out}\)
重新排列环路，闭环传递函数 (CLTF) \(H(s)\) 由下式给出：
\（H（s）= \frac{\phi_{out}}{\phi_{ref}} = \frac{\text{PID}（s）\times \text{VCO}（s）}{1 + \text{PID}（s）\times \text{VCO}（s）} = \frac{G（s）}{1+G（s）}\）
其中 \(G(s) = \text{PID}(s) \times \text{VCO}(s)\) 为 OLTF。\(G(s)\) 在决定闭环系统行为方面起着核心作用。由于 \(G(s)\) 同时出现在闭环传递函数 \(H(s)\) 的分子和分母中，其特性直接影响系统稳定性。尤其重要的是 \(G(s)=-1\) 的情况，这会导致 \(H(s)\) 的分母趋近于零，从而导致增益无界和不稳定。在反馈系统设计中必须小心避免这个关键点。
为了评估系统与不稳定阈值的接近程度，我们使用了增益裕度和相位裕度等频域稳定性指标。本节重点介绍如何评估这些裕度，以确定控制环路的鲁棒性，并指导控制器参数的进一步调整。
OLTF \(G(s)\) 特性的第一步是确定 VCO 的传递函数。具体方法是将扫频抖动信号注入 VCO 的调谐端口，并分析 VCO 输出的相应频率变化。
图11显示了用于表征VCO传递函数的设置。在该配置中， 频率响应分析仪 产生低幅度扫频抖动信号，通过 输出A 并施加到VCO的频率调谐端口。当该信号激励VCO时，频率响应分析仪同时进行幅度和相位响应测量。
相位计测量压控振荡器的瞬时输出频率，并使用 10 µV/Hz 的频率-电压比例因子将其转换为电压信号，然后反馈至频率响应分析仪。这种设计能够自动且准确地确定压控振荡器的传递函数。
图 12 显示了用于传递函数测量的 Moku:Pro 多仪器模式配置。VCO 的输出连接到 在一个 相位计持续监测VCO的频率。然后，该频率数据通过内部信号总线传输到 在一个 频率响应分析仪。
图 13 显示了 Phasemeter 的用户界面，其中显示了测得的时域频率轨迹。频率偏移被发送到频率响应分析仪进行传递函数测量。从显示的数据可以看出，VCO 频率偏差随时间推移而增加。值得注意的是，频率响应分析仪的抖动输出幅度在扫描抖动信号频率时保持不变。这表明，只有当抖动信号变化缓慢时，VCO 才能有效地跟踪抖动信号。因此，它可以被建模为低通响应。
然后，频率响应分析仪会处理频率偏移，测量信号在一系列抖动频率范围内的幅度和相位。测得的 VCO 响应如图 14 所示。低通转折频率估计为 9.538 kHz，VCO 增益约为 83,497 Hz/V。
图 15 所示的 VCO 频率响应是通过使用频率响应分析仪和相位计的频率/电压转换因子对测量的频率响应进行归一化而得出的。虽然响应似乎呈现出两个极点，但第二个极点是由于相位计的跟踪带宽有限而产生的，因此可以忽略不计。通过将 VCO 响应与控制器的响应相结合，可以确定 OLTF。锁定放大器内的低通滤波器不包含在本次分析中，因为其 12.3 MHz 的转折频率远远超出了目标频率范围，并且对低频区域的 OLTF 没有显著影响。
为了在 MATLAB 中对系统进行建模，OLTF 可以按如下方式构建。PI 控制器模型基于上文描述的 s 域表示 控制系列应用说明.
系统参数配置如下：f_{VCO} = \text{9.538 kHz}\、G_{VCO} = \text{83,497 Hz/volt}\、P_{dB} = \text{-10 dB}\ 和 I_{cross} = \text{100 Hz}\。需要注意的是，OLTF 包含一个 VCO 积分器，用于频率到相位的转换，因为锁相放大器中检测到的误差信号是以相位表示的。此外，450 ns 的延迟考虑了锁相放大器的处理延迟以及 Moku:Pro 中的输入到输出延迟。模型建立后，下一步是测量实际的 OLTF 并将其与模型响应进行比较，以验证其准确性。
环路测量
参考控制理论系列中先前发布的应用说明，测量\(G(s)\)的框图如图 16 所示。在此设置中，抖动信号注入 PID 控制器和 VCO 之间的点。
点处的传递函数 A 和 B 反馈环路内的相位可以通过系统对外部注入抖动信号的响应推导出来。在此测量过程中，参考相位 \phi_{ref}\ 设置为零，这意味着相位检测器仅对环路产生负号贡献。
在点 A，传递函数可表示为：
\(\left( A(s) + V(s) \right) \times \text{VCO}(s) \times -1 \times \text{PID}(s) = A(s)\)
其中 \(V(s)\) 是注入抖动信号 \(v(t)\) 的拉普拉斯变换
重新排列该表达式，得到从注入信号到点输出的传递函数 A:
\(\frac{A(s)}{V(s)} = \frac{-1 \times \text{VCO}(s) \times \text{PID}(s)}{1 + \text{VCO}(s) \times \text{PID}(s)} = \frac{-G(s)}{1+G(s)}\)
该表达式表明，在高环路增益 \(G(s) \gg 1\) 下，点处的输出 A 紧密跟踪输入的负值，即 \frac{A(s)}{V(s)} \approx -1\），这对应于负参考跟踪。
在点 B，该关系可写为：
\（B（s）\乘以\文本{VCO}（s）\乘以-1\乘以\文本{PID}（s）+V（s）=B（s）\）
求解传递函数可得出：
\(\frac{B(s)}{V(s)} = \frac{1}{1 + \text{VCO}(s) \times \text{PID}(s)} = \frac{1}{1+G(s)}\)
这表明，当 \(G(s)\) 较大时，点处的信号 B 显著衰减。因此，点处的传递函数 B 表征抗干扰能力，有效抑制该点的抖动信号\(V(s)\)。
通过计算点处传递函数的比率 A 和 B，OLTF \(G(s)\) 可以恢复：
\(\frac{A(s)}{B(s)} = -G(s)\)
图 17 所示的实验装置实现了这一概念。抖动信号 v(t) 通过 自定义仪器 配置为一个简单的加法器。注入前的控制信号\(c(t)\)和注入后的组合信号\(c(t)+v(t)\)均使用频率响应分析仪的两个通道同时测量。这使得系统能够捕捉到各点的传递函数 A 和 B 进行分析。
多仪器模式配置如图 18 所示，与图 17 所示的框图相对应。值得注意的是，插槽 4 中的相位计仅用于监控目的，不参与反馈控制回路。
频率响应分析仪用户界面如图 19 所示。在此设置中，通道 A（红色迹线）表示从抖动信号 v(t) 到控制信号 c(t) 的传递函数。通道 B（蓝色迹线）显示组合信号 c(t)+v(t)，该信号表示 VCO 的调谐输入。OLTF 是通过将通道 A 的幅度除以通道 B 的幅度并减去相位得到的。得到的 OLTF 显示在数学通道（橙色迹线）上。
上一节中开发的OLTF模型在MATLAB中进行仿真，并与频率响应分析仪测得的响应进行比较，如图20所示。仿真结果在幅度和相位上均与测量数据高度一致。为了解释负反馈配置引入的固有相位反转，从测得的相位响应中额外减去180°。
在单位增益频率附近，测量结果最准确。在较高频率下，控制环路缺乏足够的带宽来跟踪点处的注入抖动信号 A （图 16），导致测量保真度降低。在频谱的另一端，极低频率被环路强烈抑制，仅在点 处留下极小的抖动信号 v(t) 残留。 B （图 16），这限制了低频和高频区域测量的实用性。
除了图 20 所示的 OLTF 之外，图 21 还生成并显示了参考跟踪和抗扰响应。在测量的参考跟踪中，相位响应偏移了 180°，因为测量的响应是 \frac{-G(s)}{1+G(s)}\)，而不是典型的 \frac{G(s)}{1+G(s)}\) 形式。
干扰抑制响应中在 3 kHz 左右出现增益峰值，这与图 9 所示的锁定后测量的频率噪声中观察到的噪声峰值相对应。该增益峰值是由于当前 OLTF 的相位裕度较小造成的，导致噪声增加而不是减少。
循环优化
测量 OLTF 和系统建模的主要目的是优化锁定环路的性能。如上一篇应用笔记所述，由 OLTF 得出的关键指标——环路增益、相位裕度和增益裕度——对于评估和改进反馈系统至关重要。有效的控制系统应最大化低频增益以抑制干扰，同时保持足够的相位和增益裕度，以确保稳定性和对噪声和参数变化的鲁棒性。
添加 1 kHz 微分器项
如图 20 中的 OLTF 图所示，PI 控制反馈环路在单位增益频率附近有三个贡献极点。这些极点分别来自 VCO 的固有积分器（执行频率-相位转换）、其一阶低通响应以及 PI 控制器的积分器组件。这三个极点总共贡献了 270° 的相移，如果管理不当，可能会造成不稳定的风险。
单位增益频率位于 PI 积分器的 100 Hz 交越点和 VCO 低通滤波器的 9.538 kHz 转折频率之间。在此中间区域，PI 积分器的效果逐渐减弱，而低通极点的影响尚未完全显现。这种重叠会产生适度的相位跃变，使单位增益频率处于一个提供有限但足够相位裕度的区域。因此，系统保持约 30° 的相位裕度和约 76.47 的增益裕度，从而确保稳定运行。
图 22 包含一条参考线，表示由锁相放大器的处理时间和输入到输出延迟引入的 450 ns 延迟。该延迟尚未限制系统的相位裕度，表明仍有额外相位补偿的空间。为了增强稳定性，在 1 至 100 kHz 频率范围内，可以在控制器中添加一个微分器项，以提供高达 90° 的相位超前。在本例中，引入了一个交叉频率为 1 kHz 的微分器。改进的 PID 控制器及其对应的 OLTF 可用下式表示：
图 22 绘制了包含微分器项的更新版 OLTF \(G_{PID}(s)\)，以供比较。微分器交叉频率 \(D_{cross}\) 设置为 1 kHz，其他所有参数与之前的 PI 控制环路 \(G_{PI}(s)\) 相同。在图 22 中，蓝色曲线代表 \(G_{PI}(s)\)，橙色曲线代表增强版 \(G_{PID}(s)\)。图中还标出了两种配置的增益和相位裕度。虽然增益裕度基本保持不变，但相位裕度显著增加——从 PI 情况下的 30.45° 增加到 PID 配置下的 93.49°。这证实了引入 1 kHz 微分器的有效性。此外，在 PID 情况下，单位增益频率偏移更高，表明控制带宽增加。
进一步的优化将集中于改善幅度响应，因为 \(G_{PID}(s)\) 的相位响应受到较高频率下固有延迟的限制。
将比例增益提高到 10 dB
引入 1 kHz 微分器后，相位裕度在 1 至 100 kHz 频率范围内显著提升，增益裕度达到 84.79。这为提高比例增益和增强开环增益提供了充足的空间，同时保持系统稳定性。比例增益增加 20 dB 是可以接受的，因为它会将增益裕度降低至 8.479，并将单位增益频率偏移至约 60 kHz，这仍然在稳定的工作范围内。因此，增益和相位裕度仍然足够，环路增益增加了 20 dB。更新后的 OLTF 绘制在图 23 中，其中还标出了修改后的增益和相位裕度。
提高积分器和微分器的频率
为了进一步增强低频增益，可以提高积分器和微分器的增益，因为1至100 kHz之间的可用相位裕度允许这种权衡，而不会显著影响更高频率下的相位裕度。在此配置中，积分器交越频率提高至3 kHz，微分器交越频率提高至20 kHz，从而进一步提高低频环路增益。
更新后的 OLTF 如图 24 所示，其中标注了增益和相位裕度。这些裕度现在受到限制，表明系统可能变得不稳定。通过检查传递函数，可以观察到由于微分器交越频率的提高，单位增益频率偏移至 8 kHz。然而，在约 100 kHz 时，相位仍然远高于临界 -180° 阈值，这表明可以施加额外的比例增益来提高单位增益频率并恢复相位裕度。
值得注意的是，OLTF 会多次穿越 -180° 相位，从而产生多个增益裕度，其中最接近临界不稳定点（G(s)=-1）的两个裕度是主要关注点。增加比例增益会导致 |G(s)| 在 5.6 kHz 附近进一步偏离 1，同时在 528 kHz 附近使其更接近 1。这种偏移会导致单位增益频率两侧的增益裕度之间出现权衡。
将比例增益提高到 35 dB
考虑到增加比例增益可以同时提高环路稳定性和增益，我们将比例增益提高到 35 dB，相当于增加了 25 dB。此调整将单位增益频率移至约 70 kHz，从而获得更有利的相位裕度，同时平衡单位点两侧的两个增益裕度。更新后的开环传递函数如图 25 所示。它现在的相位裕度为 62.6°，两个增益裕度分别为 0.028 和 9.31，表明系统在 G(s)=-1 时具有适当的安全裕度。
采用奈奎斯特准则进行稳定性分析
在图 25 中，可以观察到相位响应两次穿过 180° 点。其中一次穿过发生在 5.6 kHz 左右，对应的增益 \(|G(s)|\) 大于 1。这种情况可能导致该频率下的正反馈，从而可能放大噪声并导致不稳定。为了更严格地评估系统的稳定性，分析闭环系统的极点至关重要。回顾基本的闭环表达式，系统的输出到输入传递函数由 \(H(s)= \frac{G(s)}{1+G(s)}\) 给出，因此 \(H(s)\) 的极点是 \(1+G(s)\) 的零点。
进行这种分析的一个有用方法是奈奎斯特图，它沿着包围整个右半部分的轮廓评估 OLTF \(G(s)\) s 平面。这种方法对于包含纯延迟 \(e^{-\tau s}\) 的系统尤其有用，因为此类延迟是超越函数，无法用集总元件模型准确表示。虽然奈奎斯特准则的完整解释超出了本文的范围，但许多资源对其进行了详尽的解释——《 反馈理论指南 Joel L. Dawson 的著作是一个很好的起点。
为了应用奈奎斯特准则，令 P 表示 G(s) 右半部分的极点数 s 飞机，以及 N 表示临界点 \((-1,0j)\) 周围的包围圈数。那么 Z，即右半平面中 1+G(s) 的零点个数，满足关系 N=ZP。因此，通过确定 G(s) 中右半平面极点的个数，并统计 (-1,0j) 的包围圈数，可以直接推断闭环系统的稳定性。
图 26 展示了该系统的奈奎斯特图，其中临界点 (-1,0j) 用红叉标记。图中显示 (-1,0j) 被图 25 中的一条逆时针环绕，表明存在潜在的不稳定性。然而，由于环路中存在两个纯积分器——一个来自 VCO 的频率到相位转换，另一个来自 PID 控制器——该图延伸至无限半径，使得定量分析变得不可行。该系统还必须使用定性方法进行评估。
当复频率变量 s 在 s 平面上绕原点逆时针旋转 180° 时，原点处的极点所代表的两个积分器在奈奎斯特图中无限半径处贡献总计 360° 的顺时针相移。这会产生一个顺时针环绕，抵消掉最初的逆时针环绕，最终导致净环绕为零。
由于 OLTF 在右半部分没有极点 s 平面，且点\((-1,0j)\)的总包围圈也为零，则闭环系统在s平面右半部分没有极点。因此，优化系统保持稳定。
优化环路的开环传递函数
在优化 OLTF 并验证闭环系统稳定性后，PID 控制器的比例增益配置为 35 dB，积分器交叉频率为 3 kHz，微分器交叉频率为 20 kHz。然后对系统进行测量以验证模型。图 27 显示了测量值和模拟值的 OLTF，而图 28 显示了系统的参考跟踪和干扰抑制。测量结果与模型预测值非常吻合。
噪声表征
本节使用相同的 Moku:Pro 设备评估频率噪声，并以内部时钟作为参考；因此，时钟本身的任何抖动或相位噪声均不包含在测量中。为了减少传感器噪声对频率噪声分析的影响，我们使用了环外频率传感器。在此配置中，传感器噪声的主要来源是模数转换器 (ADC)。如图 29 所示，VCO 输出被分成两条独立的路径，以提高测量精度：一条路径发送到 ADC 输入 1，以生成反馈环路的误差信号；另一条路径则路由到 ADC 输入 3 和相位计，后者作为独立的环外传感器，用于测量 VCO 的频率噪声。
在三种条件下测量频率噪声：自由运行、PI 控制器锁定以及优化 PID 控制器锁定。时域结果如图 30 所示。优化 PID 控制器实现了约 ±20 Hz 的峰峰值频率噪声，接近相位计的本底噪声（紫色线所示）。
实现这一性能的原因是，控制环路将干扰衰减了 \frac{1}{1+G(s)}\ 倍。在优化配置中，环路增益足够高，可以有效抑制环路中的噪声，包括可能影响 VCO 频率的环境振动和温度变化。
图 31 显示了测量频率噪声的 ASD。紫色轨迹对应于优化的 PID 控制器，与 Phasemeter 的本底噪声紧密相关，表明系统运行接近其性能极限。没有明显的噪声峰值进一步证实了优化的开环传递函数提供了足够的相位裕度，从而确保了稳定且良好的阻尼性能。
结语
本应用笔记详细介绍了由 VCO 和配备内部 PID 控制器的锁定放大器组成的 PLL 系统的分析和优化。通过系统地调整比例、积分和微分元件，OLTF \(G(s)\) 被整形，以最大化环路增益，同时保留足够的相位和增益裕度，确保系统稳定运行。系统稳定性采用奈奎斯特准则进行验证，验证了 CLTF \(H(s)\) 中不存在右半平面极点。
实验验证包括测量值与模拟值OLTF的比较，结果显示两者高度一致。频率噪声性能在三种工作条件下进行评估：自由运行、PI控制器锁定以及优化PID控制器锁定。优化配置的性能接近Phasemeter的本底噪声，证明了其在抑制机械振动和温度引起的频率漂移等外部干扰方面的有效性。