在本系列中，我们通过简要介绍频域中遇到的反馈控制，为设计和调试循环提供实用的参考。
6.1 介绍
PID控制器 在许多设备中都有使用，包括 Moku 系列产品. Moku 提供独立的 PID 控制器以及集成的PID控制器作为其 激光锁频/稳频器 和 锁相放大器. 本系列的最后一部分介绍了 Moku PID 框架的两个等效频域模型，允许用户在外部软件中对其控制回路进行建模。
部分1 建立传递函数的定义，并提供了构建控制回路框图以对复杂系统进行建模所需的组件。在 部分2 我们演示了如何使用反馈控制系统来抑制干扰或跟踪过程设定点。还讨论了与噪声传感器相关的复杂性。与开环系统不同，受反馈控制的设备有可能变得不稳定，并且性能和稳健性之间存在矛盾。最终，信号传播的延迟可能会施加最严格的限制。这些问题在 部分3在频域中，反馈系统的大多数参数都可以与其开环传递函数联系起来。 部分4 我们解释了如何测量这个重要数量，并提供了塑造它时经常使用的函数列表。 部分5 描述了一种避免执行器饱和的方法，并在此过程中介绍了对处理多个执行器有用的思想。我们的系列文章在第 6 部分以对 PID 控制器的研究结束。这种常见的控制架构通常从时域的角度来考虑；我们说明了互补的频域表示。
6.2 转换功能
PID 控制器的输出可以描述为独立路径（比例、积分、双积分和微分）的加权和。这产生了传递函数 H(s)，形式为
\(P + frac{K_I}{s} + frac{K_{I+}}{s^2} + K_Ds\)或包括饱和项，
\(H(s) = P + frac{K_I}{s} frac{s}{(s-p_{IS})} + frac{K_{I+}}{s^2} frac{s^2}{(s-p_{IS})^2} + K_Ds frac{-p_{DS}}{(s-p_{DS})}\) \(= P + frac{K_I}{(s-p_{IS})} + frac{K_{I+}}{(s-p_{IS})^2} + K_Dsfrac{-p_{DS}}{(s-p_{DS})}\) (6.1) 频率响应可以通过代入从该表达式获得。 s = iω，在 Moku:Pro 上 i 是虚数单位， ω 角频率。可以通过消除不必要的项来对可用特征的子集进行建模。表 6.1 描述了模型参数与提供给仪器的值之间的关系。表 6.1：模型参数。表中第一部分列出了在 Moku 仪器软件中配置的参数；其后列出了导出的参数。
图 6.1：所有启用阶段（虚线）的总和给出了控制器的整体响应（实线）。积分器和微分器的饱和度用虚线表示。用户定义的参数定义了各个贡献的相对大小。图 6.1 说明了总响应如何由各贡献路径的总和给出。
6.3 零点、极点、增益
另一种方法是用零点、极点和总增益来描述响应，即
\(H(s) = K frac{(s-z_1)(s-z_2)ldots(s-z_N)}{(s-p_1)(s-p_2)ldots(s-p_N)}.\) (6.2)这种描述可以通过展开和简化方程 (6.1) 来实现。在一般情况下，我们发现
\(H(s) = (P-K_Dp_{DS})frac{(s-z_1)(s-z_2)(s-z_3)}{(s-p_{IS})^2(s-p_{DS})},\) (6.3) 其中零点由方程的根给出
\((P-K_Dp_{DS})s^3+\) \((2K_Dp_{IS}p_{DS} + K_I – Pp_{DS} – 2Pp_{IS})s^2+ % s^2\) \((-K_Dp_{IS}^2p_{DS} – K_Ip_{DS} – K_Ip_{IS} + K_{IP} + 2Pp_{DS}p_{IS} + Pp_{IS}^2)s+\) \((K_Ip_{DS}p_{IS} – K_{IP}p_{DS} – Pp_{DS}p_{IS}^2)=0.\) (6.4)由于解析方法有些繁琐，我们采用数值方法求解该方程。
图 6.2：控制器响应，图中标记了极点和零点的频率。请注意，50 Hz 附近的极点重数为 2。图 6.2 展示了如何用极点和零点而非路径之和来表征图 6.1 所示的响应。
6.4 与测量数据的比较
图 6.3 将我们的模型与使用 激光锁频/稳频器 的 Moku:Pro. 在感兴趣的频率范围内观察到了可接受的一致性。
图 6.3：模型与测量数据的比较。结果发现，最差情况下，一致性在 1 dB/3° 以内（如图所示），通常情况下，一致性会好一个数量级。
6.5 更准确的模型
由于数值原因， PID控制器 并不像上面所阐述的那样（参见（6.1））作为项的纯粹和来实现，而是作为形式为（P+I+D）×（P+I），在 Moku:Pro 上 P、我 和 D 对应于比例、积分和微分项。除了产生双积分器 我×我 我们还意识到另外两个必须添加到我们的模型中的交叉项，通过
\(H^{prime}(s) = frac{1}{P}timesleft(P + frac{K_I}{(s-p_{IS})} + K_Dsfrac{-p_{DS}}{(s-p_{DS})}right)timesleft(P + frac{P}{K_I}frac{K_{I+}}{(s-p_{IS})}right)\) \(=H(s) + Pfrac{K_{I+}/K_I}{(s-p_{IS})}+K_Dsfrac{-p_{ds}}{(s-p_{DS})}frac{K_{I+}/K_I}{(s-p_{IS})}.\)就我们的极零增益模型而言，只需要修改零点。我们在式 (6.4) 的左侧添加以下项：
\((PK_{I+}/K_I – K_Dp_{DS}K_{I+}/K_I)s^2+ % s^2\) \((K_Dp_{DS}p_IK_{I+}/K_I – Pp_{DS}K_{I+}/K_I – Pp_IK_{I+}/K_I)s+\) \(( Pp_{DS}p_{I}K_{I+}/K_I).\)附加项仅在以下情况下有效： I+ 双积分器阶段已启动，并且在典型模型所需的精度水平下通常无关紧要。
6.6总结与结论
在本系列文章中，我们介绍了 PID 控制器 在发现 Moku 仪器。通常通过其时域行为进行描述，此示例很好地突出了两个域的互补性。该模型旨在在浮点软件中实现（MATLAB, Python 等）来帮助用户设计和分析他们的实验。该模型与测量数据非常吻合。然而，在需要最高精度的情况下，我们建议直接使用我们的 频率响应分析仪在本系列文章中，我们为读者提供了频域控制的基础知识。从传递函数的定义出发，我们利用框图构建了反馈控制回路，并演示了信号在稳态下如何在回路中传播。这项工作引出了抗扰、设定点跟踪和稳定性等概念。最后，我们简要讨论了在构建开环传递函数时这些概念之间的相互作用。在整个过程中，我们力求将数学细节控制在最低限度，尤其是在涉及稳定性的问题上。如果读者需要更详细的信息和更严谨的分析，可以参考下文引用的文献。
案例
A. Abramovici 和 J. Chapsky， 反馈控制系统多德雷赫特，荷兰：施普林格出版社，2000年9月。K. Ogata， 现代控制工程，第 5 版。新泽西州 Upper Saddle River：Pearson，2009 年 XNUMX 月。