Moku:Pro 上的多仪器模式允许您使用激光锁盒将激光锁定到光腔，同时还可以测量波德图s 通过使用频率响应分析仪 (FRA)，无需额外的测试设备或接线。 通过在误差信号中注入干扰并使用 FRA 测量传递函数，您可以检查闭环增益、相位裕度和环路 抗扰性能。 FRA和Laser Lock Box之间快速切换的灵活性使您可以方便地调整PID参数和优化回路性能以确保稳定性并最大限度地抑制干扰。
在高精度测量中，例如分子和原子物理应用，具有主动频率噪声抑制的激光系统由于其良好的长期稳定性而被广泛使用。 实现稳定的激光锁定需要高度优化的反馈控制器，这尤其涉及测量：1）控制环路的传递函数，确保在低频有足够的增益，同时保持低单位增益频率以保持环路稳定性； 和 2) 干扰抑制，如果干扰耦合到激光器并在通过整个系统后被检测到，则作为频率函数的响应将发生。
传递函数通常绘制为波德图，表示环路在设定频率范围内的增益和相移。 测量闭环干扰抑制的主要挑战是在不中断反馈控制的情况下注入噪声。 通常，系统设置非常复杂，既需要噪声源作为注入方法，又需要网络分析仪来测量响应。
在本应用笔记中，我们将演示如何使用 多仪器并行模式 on Moku:Pro 表征激光稳定系统的开环和闭环性能。 Moku:Pro 使我们能够将激光锁定到腔体，注入扰动，并同时测量开环、闭环和扰动传递函数。 您可以调整 PID 参数以优化环路配置以确保稳定性、增强干扰抑制和抑制频率噪声。 Moku:Pro 为激光稳定和表征提供了紧凑高效的解决方案。
反馈控制基础知识
为了更好地理解激光锁定系统，我们必须首先简要回顾一下通用反馈控制。 通过分析和推导本节中的干扰抑制方程，我们可以开始确定在何处注入干扰以及在何处探测 Pound-Drever-Hall (PDH) 锁定程序中的环路响应。
一般来说，我们可以将控制系统分为两类，即开环控制系统和闭环控制系统。 主要区别在于前者的控制动作独立于系统的输出，而后者具有输出相关的控制动作 [1]。 通用反馈控制环路的基本思想是通过使用当前工作点与参考值之间的差异作为误差信号 [1]，将系统输出维持在恒定设定点。 用于激光稳定的 PDH 锁定技术利用腔体反射产生误差信号，该信号反馈到激光器以保持光源在特定频率下激射，同时激光频率噪声最小。 这被认为是闭环控制 [2]。 如图 1 所示，一个基本的反馈控制系统通常具有三个组件，即设备（要控制的设备）、传感器（测量设备的输出）和控制器（生成反馈输入）。
图1： 典型反馈控制系统的框图。 它由三个主要目标组成：设备 (P)、测量特定信号的传感器 (S) 以及生成设备输入的执行器或控制器 (C)。
我们可以使用拉普拉斯变换推导控制系统的传递函数，对于给定的时域信号 f(t)，它被定义为 F(s)。
对于图 1 所示的系统，三个组件中的每一个都有自己的传递函数，分别表示为设备、传感器和控制器的 P(s)、S(s) 和 C(s)。 为了简化以下推导，引入了一个额外的内部信号并将其标记为 U(s)。 对于 X(s) 的输入信号，我们可以计算通过这样一个系统后的输出信号：
根据等式 (2) 和 (3)，反馈系统的传递函数 (H(s)) 可以通过输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比得出：
其中 C(s)P(s)S(s) 是系统的开环增益（有时也称为回报率），等式 (4) 称为闭环增益。 到目前为止的分析主要集中在信号的转换上，而在实际情况中，噪声的抑制更受关注。 噪声可以从环路内的任何地方引入，但这里我们考虑从设备引入的噪声（其他噪声源可以通过相同的程序进行分析）。 当将噪声 (N(s)) 纳入分析时，系统输出将被修改为：
对于具有较大控制器增益 (C(s) -> ∞) 的系统，系统的输出接近输入，也称为单位增益。 由外部干扰引入工厂的噪音也被大幅抑制至零。 这种扰动的传递函数也称为扰动抑制（或灵敏度函数），它表征了控制系统对设备输出端出现的扰动的灵敏度。 与开环传递函数类似，干扰抑制也与频率有关。 当抗扰度的幅度超过单位增益时，这种噪声抑制就失效了，相应的频率称为单位增益频率。 更重要的是，当开环增益的相位达到180度时（即1+C(s)P(s)S(s)=0时的闭环极点），噪声将被放大，导致不稳定的系统，尤其是当 C(s)P(s)S(s) 接近 -1 时。 这个转折点是反馈系统的另一个关键参数，称为相位裕度。 控制环路的带宽受单位增益频率和相位裕度的限制，如果相位裕度出现在低于单位增益频率的频率上，系统将无法稳定。
激光反馈控制
下面的激光稳定系统相当于上一节讨论的反馈控制回路。 在本应用说明中，激光通过使用 PDH 锁定方案的反馈控制回路稳定在光腔中。 查找 PDH 锁定技术的详细信息 此处. 图 2 说明了激光稳定过程的反馈回路，由外部伺服与内部 PZT 致动器相结合形成。
图2： 用于将激光波长锁定到腔共振的概念反馈控制回路的框图。 PID 控制器控制致动器，即激光器内部的 PZT 换能器。
稳定系统可以解释为激光是设备，其频率是系统的输出 (Y(s))。 系统试图稳定到的设定点是参考腔的谐振频率。 输出与设定点进行比较 at 此 光纤 鉴频器。 传感器测量这些信号 (S(s)) 之间的差异，其中包括光学和光电，从而产生一个错误信号，该信号由控制器进一步处理。 通常，控制器也被称为伺服系统（C(s)）。 它针对设备的特性，提供控制信号以减少位置误差并优化驱动中的过冲。 这里使用的激光器（Plant）通常是可调谐激光器，其频率可以被调制 通过 内部 PZT 换能器根据控制信号。 因此，通过将控制信号馈入激光器，它会生成最终的输出波长。 最后，该输出被反馈并更新反馈信号。
根据执行器的响应，需要仔细执行控制器的响应和 PID 设置，以确保稳定的反馈和充分的噪声抑制。 为了更好地理解这一点，可以通过测量干扰抑制来将闭环响应表征为整个系统。 我们可以通过在 VIN 点并提取输出 输出. 相应的频率响应可以导出为：
其中 C(s)、P(s) 和 S(s) 表示控制器（伺服）、设备（PZT 致动器）和传感器的动作。 公式 6 中的表达式提供干扰抑制，公式 7 表示互补灵敏度函数，公式 8 是控制的开环增益 系统.
实验装置
在本次实验中，Moku:Pro 不仅作为激光锁盒，还表征了系统的闭环响应。 图 3 展示了完整的系统设置，图 4 展示了多仪器模式配置。 为了实现我们的目标，我们将四种仪器部署到四个独立的插槽中： 激光锁频/稳频器, 锁相放大器, PID 控制器及 频率响应分析仪.
图3： 表征环路的实验装置 干扰抑制 激光稳定系统。 这 干扰抑制 使用频率响应分析仪仪器直接测量和生成，同时使用 Moku:Pro 的激光锁盒将激光锁定到外部参考腔. 注入或加法器是通过使用具有 0 dB 比例增益设置的 PID 控制器仪器来实现的。
图4： Moku:Pro 在多乐器模式下的配置。 请注意，由于四个插槽彼此完全独立，因此添加到插槽中的乐器顺序无关紧要。
干扰在误差信号解调之后但在传播到控制器之前被注入。 因此，我们将激光锁定程序分为两个独立的过程：锁相放大器 (LIA) 通过 Out 1 向电光调制器 (EOM) 生成调制信号并解调误差信号； 和激光锁盒 (LLB)，它跳过了解调过程，只将伺服或控制信号提供回激光器。 输出 2 来自 LLB 中的快速 PID 控制器，然后直接连接到激光器的压电器件以精细地驱动激光频率，输出 3 连接到激光器的温度控制。
同时，我们使用频率响应分析仪 (FRA) 仪器测量了闭环干扰抑制，它生成扫频正弦偏移并通过使用 PID 控制器仪器将其注入到环路信号 (In 1) 中作为加法器。 为了实现这个求和点，我们通过将输入矩阵设置为将 PID 控制器配置为加法器 
和比例增益为 0 dB。 加法器的输出分为两条路径，一条为激光锁盒提供误差信号，另一条连接到 FRA 的通道 B 以测量闭环频率响应。 FRA 的通道 A 在注入正弦波之前记录环内频率噪声。
LLB 提供伺服动作。 通过斜坡扫描监测 PDH 误差信号，然后我们调整缓慢的温度偏移，使腔谐振接近扫描范围的中间。 然后打开积分器饱和以避免在稳定系统之前过度补偿。 然后，我们选择载体的零交叉点作为锁定点，并使用“锁定辅助”功能进行锁定，这会启用快速 PID 控制器。 最后，我们禁用积分器饱和以启用完整积分器以在低频获得更多增益。 找到激光锁盒的详细解释 此处.
在我们成功地将激光频率锁定到腔体之后，我们将感兴趣的仪器切换到 FRA，其中测量配置为（In ÷ Out），两个通道上的输出信号都足够小（5 mVpp）。 通过在感兴趣的频率范围内扫描频率源，我们生成了与公式 6-8 相关的传递函数。
实验结果
观察图 5 中的测量结果。
图5： 测得的传递函数，显示了整体闭环响应（红色）、闭环干扰抑制（蓝色）和激光锁定系统的计算开环增益（橙色）。 干扰抑制的单位增益频率约为 24 kHz。
红色轨迹显示测得的互补传递函数（公式 7），蓝色轨迹显示干扰抑制（公式 6）。 通过使用数学通道 (ChA ÷ ChB)，我们可以动态计算开环 转换功能, 显示为 图 5 中的橙色迹线。从蓝色迹线（或橙色迹线）可以看出，锁定环路的单位增益频率高达 24 kHz，相位裕度略大于 90 度。 该系统中的锁定带宽限制来自 PZT 的机械共振。 从图中，我们可以看到在 ~63kHz 处存在机械共振。 因此，进一步 p使系统获得更高的增益可能会激发共振， 这可能 导致在该特定频率点的正反馈并使系统不稳定。
此外， 止 开环响应（橙色迹线） 我们可以看到 低频增益达到60 dB. 本篇 与蓝色 trac 中的 -60 dB 扰动抑制相呼应e和 表明LLB仪器可以提供足够的伺服增益以充分抑制激光频率噪声并保持稳定锁定。
总结
Moku:Pro 灵活的基于现场可编程门阵列 (FPGA) 的方法解决了传统固定功能测试和测量硬件的许多缺点。 基于 FPGA 的架构提供了在仪器之间动态切换的能力。 它还提供了同时使用多台仪器的能力，例如使用 FRA 表征激光锁定环路传递函数，同时使用 LLB 保持稳定锁定。 多仪器模式使优化循环配置的过程更加直接和高效。 直观的用户界面大大降低了实验设置的复杂性，提供了更易于访问和灵活的解决方案。
此外，虽然本应用笔记显示了一个利用 PDH 锁定方案的示例，但这种验证控制环路响应的方法适用于其他锁定技术，例如 DC 锁定、边缘侧锁定和倾斜锁定，这些技术具有广泛的实际应用在激光稳频领域。
致谢
我们要感谢 Andrew Wade、Kirk McKenzie 和澳大利亚国立大学向我们提供了他们实验的详细信息、Moku:Pro 的使用说明和反馈。 澳大利亚国立大学的实验得到了 ARC 引力波发现卓越中心的支持。
参考资料
[1] Doyle, JC、Francis, BA 和 Tannenbaum, AR (2013)。 反馈控制理论。 快递公司。
[2] Black, ED, 2001。Pound–Drever–Hall 激光稳频介绍。 美国物理学杂志，69(1)，pp.79-87。
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