Moku:Pro FIR Filter Builder を使用したレーダーおよび波形トリガー用の整合フィルターの実装

Moku:Pro FIR Filter Builder を使用してマッチドフィルターを実装する方法を学びます。

２０２２年７月１１日

ノイズの多いチャネルでの信号の存在を正確に検出することは、レーダーや LiDAR などの飛行時間測距手法からセキュリティエンジニアリングやハードウェア侵入テストに至るまで、多くのアプリケーションにとって重要です。整合フィルターは、既知信号の存在と到着時刻の検出に最適なフィルター設計です。このアプリケーションノートでは、Moku:Pro FIR Filter Builder と任意波形発生器を使用した整合フィルターの有効性をデモンストレーションします。このデモンストレーションを通じて、高速信号検出アプリケーションにおける Moku:Pro の有効性を紹介します。

概要

通信およびレーダーシステムの信号対雑音比 (SNR) を改善することは、検出精度を高めるための重要な要件です。整合フィルタは、対象の波形の形状がわかっている場合に SNR 性能を向上させるために広く使用されている技術です。これは、周波数領域で定義された通過帯域および/または阻止帯域を備えた従来のフィルターや、時間領域の要素を排除することを目的としたボックスカーアベレージャとは対照的です。

このアプリケーションノートでは、マッチドフィルターの背後にある理論について詳しく説明します。さらに、Moku:Pro でのマッチドフィルターの 2 つのアプリケーションをデモします。

経歴

整合フィルタリングは、入力信号が既知のテンプレートと「一致」する場合に高い出力電力を提供します。簡単な例は、既知の周波数の正弦波のサイクルに一致する整合フィルターを設計することです。このフィルタは、入力信号にその周波数の正弦波が存在する場合に常に高出力を提供し、その結果、単純なオンオフキーイング (OOK) デジタル通信受信機を形成します。

この構成での整合フィルタリングの有効性を実証するために、次のシミュレーションを実施しました。図1。システムのネイティブ SNR は -3.01 dB でしたが、整合フィルターを実装することでこれが 18.74 dB に大幅に改善されました。この結果は、送信電力を増加させることなく SNR パフォーマンスを向上させる整合フィルタリングの有効性を強調しています。

フィギュア 1: の有効性の実証 a マッチドフィルター。 (a): T010110 のデータを持つノイズのない信号が送信されました、(b): R大きな付加的ホワイトノイズを含む受信信号。ビットをデコードできません。 a 通常のデコードアルゴリズム、(c): Tノイズのない送信信号のマッチドフィルター出力, (d): Tノイズの多い受信信号のマッチドフィルター出力。理想的なチャネルとノイズの多いチャネルの両方で、すべての変調ビットは正しくデコードされます.

の導出　マッチドフィルター

連続信号に基づく導出

フィルタリングされた受信信号の従来の信号モデルは次の式で表されます。 2.1.1ここで、 $y（t）$ は受信信号を示します。 $p（t）$ 送信信号を表し、 $h（t）$ は設計された受信フィルタを意味しますo 受信信号の信号対雑音比を最適化します。チャネル内の付加ノイズの存在は次のように表されます。 $n(t)$ 。さらに、処理された信号とノイズはそれぞれ次のように表されます。 $p_{\text{o}}(t)$ および $n_{\text{o}}(t):$

ここで、y(t) は受信信号を表し、p(t) は送信信号を表し、h(t) は受信信号の信号対雑音比を最適化するように設計された受信フィルターを表します。

パーシヴァルの法則[1]は、時間領域の信号パワーとノイズの合計パワーが周波数領域の対応するパワーと等しいと述べています。さらに、 $n(t)$ 通常、パワースペクトル密度 (PSD) を伴う加法性ホワイトノイズであると想定されます。 $S_{n}(f) = S_{n}$ 周波数に依存しないこと。この基本原則に従って、期待されるパワーは、 $n(t)$ は時間的に一定で、期待される力はです。は時間的に一定で、期待される力はです。 $\sigma_{n}^2$ ノイズ信号の PSD を乗算した結果 $S_{n}$ および受信フィルターの PSD $|H(f)|^2。$

受信信号のパワー $p_{o}(t_{m})^2$ 当時の $t_{m}$ サンプリング時間によって異なります $t_{m}$ これは、送信信号の PSD が時間不変ではない性質があるためです。 PSD は次によって与えられます。 $|P(f)e^{j2\pi ftm}|^2$ 。そのような：

したがって、SNR は $t_{m}、$ 示される $p^2(t_{m})、$ 次のように表すことができます。

式 2.1.3 を解き、最適化された SNR の条件を見つけるために、Cauchy-Schwarz 不等式を適用します。既知の送信信号の SNR パフォーマンスを最大化する条件を式 2.1.4 に示します。

そして、導出された最適なフィルター、すなわち整合フィルターは式 2.1.5 で与えられます。

場所 $S_{n} = \frac{N}{2}、k' = \frac{2k}{N}$ および $に}$ 信号の長さです。の選択 $t_{m} = t_{o}$ カジュアルでありながら最短遅延のフィルターを実現します。さらに、定数乗数 $k'$ ノイズとシングルを均等にスケーリングするため、分析から省略できます。

デジタルシステムへの拡張

式 2.1.5 の式は、連続時間における最適なフィルターです。定量的な比較を行うために、離散時間デジタルシステムの SNR パフォーマンスを分析します。

式 2.2.1 では、整合フィルターの長さは次のようになります。 ${NS}$ 予想されるノイズ電力は $E(|n_{o}[\tau ]|^2)$ 。この式では、デジタル化されたチャネルノイズが考慮されます。 $n[\tau ]$ 、フィルタリングされたノイズと一致 $n_{o}[\タウ ]$ 、およびマッチドフィルターのインパルス応答 $h[\tau ]:$

の一番右の部分 $E(n[\tau - l_{1}]n[\tau - l_{2}])$ 式 2.2.1 のは、ホワイトノイズの相関関係です。式 2.2.2 は、次の場合にのみノイズ電力がゼロ以外の値を持つことを示しています。 $l_{1} = l_{2}$ 。デジタル化されたマッチドフィルター $h[l]$ は式 2.1.5 から導出されます。 $h[l] = p[N - 1 - l]$ 整合フィルタリング後のノイズは式 2.2.3 に示されます。

整合フィルタ出力のピーク電力は、式 2.2.4 で与えられます。整合フィルタのインパルス応答は次のように変化するため、整合フィルタの出力ピーク電力は送信パルスのエネルギーの XNUMX 乗です。 $h[l]$ は時間反転送信パルスです $p[N - 1 - l]:$

したがって、出力信号のピークにおける SNR は式 2.2.5 の式になります。送信信号のパワーは次の式で与えられることに注意してください。 $\frac{1}{N} \sum_{\tau = 0}^{N - 1} |p[\tau ]|^2$ ノイズ電力は次の式で与えられます。 $\sigma_{n}^2:$

SNR の改善率は、「はじめに」セクションのシミュレーションでの SNR の増加と一致します。このシミュレーションでは、21.75 サンプルフィルターで 150 dB SNR の改善が示されており、定量分析では次のことがわかります。 $10 \; {log}(150) = 21.76 \; dB$ 強化。

アプリケーション　マッチドフィルター

このセクションで、紹介して説明します 2 マッチドフィルターの応用例: rアダル距離センシング (パルス圧縮) および波形トリガー。

レーダーパルス圧縮

最初の例では、レーダーパルス圧縮を調べます。レーダーシステムでは、送信機がターゲットに向けて電波のバーストを放射します。次に、レーダー受信機は、ターゲットによって反射された反射エコーを受信します。飛行時間、つまり距離遅延により、ターゲットまでの距離を計算できます。

このアプリケーションは、図に示す通信例に似ています。図1レーダーと通信システムは両方とも、ノイズの多い受信環境で信号を検出するように設計されているためです。整合フィルタを備えていない従来のレーダーでは、効果的に実装するには高い送信出力が必要であり、その距離分解能は送信パルスの長さによって大幅に制限されます。

この問題に対処するには、整合フィルタを使用して受信パルスを時間内に圧縮します。フィルターからの狭いパルス出力により最高の空間分解能が得られますが、実際の送信信号は広いままで送信エネルギーが増加するため、高出力を必要とせずに SNR を高めることができます。具体的には、チャープ (周波数が線形に増加する正弦波) は、自己相関が狭く、生成が比較的簡単であるため、送信信号としてよく使用されます。

理論と導出

リチャーズ【2] 導出された方程式 3.1.1, これは、の曖昧さ関数を指定します。複雑なエンベロープチャープ波s、と $\ベータ$ はチャープの帯域幅を表し、 τ はチャープ波の時間幅を表します。

レーダーの距離分解能は、ピークと最初のヌルポイントの間の距離であるレイリー分解能によって決まります。のピーク $A(t, 0)$ で観察されています $T = 0$ 、分子の引数が次の場合に最初の null が発生します。 $\ pi$ 、つまり、 $\beta t(1 - \frac{|\tau |}{\tau \pm }) = 1$ 。のために $1> 0$ 、この式は式 3.1.2 として表すことができます。

根は次のように表現できます。 $t = \frac {1}{2}(\tau \pm \sqrt {t^2 - \frac {4\tau }{\beta })}= \frac {1}{2} \tau (1 \pm \sqrt {1 - \frac {4 }{\beta \tau })}$ 。負の符号を選択すると、中心点に最も近い正の根が得られます。 $(t = 0)$ 、それによって時間領域のレイリー分解能が決定されます。この結果は、式 3.1.3 の平方根のテイラー級数展開で簡略化できます。

したがって、レイリー分解能は時間内に $\デルタt$ 約です $\frac {1}{\beta }$ 秒。対応するレイリー距離分解能は次のとおりです。 $\デルタR$ 式 3.1.4 のメートルは、送信信号の往復により XNUMX 倍になります。

注意すべき重要な点は、Moku:Pro のような任意波形発生器 (AWG) は、複雑なエンベロープではなく、チャープ波の実数成分のみを生成するということです。これにより、複素包絡線と正弦波関数のあいまいさ関数に発散が生じます。

前に概説した曖昧さ関数は受信信号の複素エンベロープに基づいていますが、簡単にするためにヒルベルト変換は含まれていません。複雑なエンベロープの詳細な説明と関連する議論については、Mahafza[3]を参照してください。

実数値の正弦波チャープ波のあいまいさ関数の導出は、フレネル積分と三角恒等式の操作を伴うため、困難です。代わりに、単純で変調されていない複素指数波の場合を調べることによって、実数成分のみを使用した場合の効果を説明します。

単純な非変調複素指数関数の複素包絡線の整合フィルタリング方程式は、次のように表すことができます。

式 3.1.5 は、複素指数曖昧性関数のヌルが実部と虚部の結合ヌルであることを示しています。の大きさ ${NS}$ および ${b}$ 時間オフセットが大きい場合に最大になります。 τ はゼロですが、 ${c}$ および ${d}$ 時間オフセットで最大となる τ ピリオドの後の(すなわち、 $\frac {\pi }{2}$ ラジアン)、実部のヌルに対応します $({a} + {b})$ 。その結果、実数と虚数のヌルとピークの不整合により、曖昧性関数のヌルの半分がキャンセルされます。虚数成分を削除すると、これらのキャンセルが削除され、NULL の数が 2 倍になります。

直観に反しますが、レイリー分解能は、完全な複素エンベロープと比較して、実関数の約 2 倍向上します。複素指数関数を使用したこの図は、シミュレーションで検証されたように、元のチャープ波に適用できる一般的な結果です (図XNUMX)。純粋な実波形を使用した更新されたレイリー時間分解能と範囲分解能の値は次のようになります。

図2: 受信した実数値チャープの曖昧性関数の比較 $(\beta = 1000) (赤)$ および受信信号の複素エンベロープ (青)。

レイリー解像度 $\デルタ\タウ$ 時間内のレーダーの最小解像度を決定します。図 3 (a) は、正確に分離された XNUMX つのチャープの整合フィルタ出力を示しています。 $\デルタ\タウ$ 建設的に重なり合うと、上部が平らになります。ピーク検出器は単一のピークとして識別します。理論的には、ターゲットがこれ以上離れている場合、小さなディップが予想され、分離が成功します。ただし、実際のアプリケーションでは、小さなディップがノイズによって隠蔽される可能性があり、2 つのパルスを確実に区別できるようになる前に、パルス間でフィルタ出力が名目上ゼロに低下することが要求されるのが一般的です。そのため、このアプリケーションノートでは、null-to-null 幅のデモンストレーションに焦点を当てます。 $2\デルタ\タウ$ .

図3: (a): の距離で建設的にオーバーラップした整合フィルタ出力 $\デルタ\タウ$ 、(b): マッチドフィルター出力 $2\デルタ\タウ$ 分離は名目上、パルス間でゼロに低下します。騒がしい環境でも、それらを明確に区別できる可能性が向上します。

Moku:Pro によるパルス圧縮

で説明されているシミュレーションとは対照的に、 i導入シンプルなオン/オフキー付き正弦波を使用しました、このセクションのシミュレーションでは、s より優れたレイリー範囲分解能を達成するための広い帯域幅の正弦波チャープ。フィギュア 4 は、メインローブチャープパルスの幅は、正弦パルス。

フィギュア 4: (ac) 導入部の OOK 正弦波と同じシミュレーションを、代わりにチャープを使用して実行します。 (d) チャープからの整合フィルター出力 (オレンジ) は、圧倒的なチャネルノイズが存在する場合でも、正弦波 (青) よりもメインローブ幅がはるかに小さくなります。

次のセクションの検証に使用される Moku:Pro マルチ機器モードの構成を次の図に示します。図5。このセットアップでは、任意波形発生器 (AWG) が 2 つの異なるチャープ波を生成し、チャネル B の帯域幅がチャネル A の半分になります。 FIR フィルタービルダー (FIR) を使用して、生成されたチャープ波の整合フィルターを実装します。 AWG。その結果、チャネル B 出力のレイリー分解能はチャネル A の半分になることが予想されます。

フィギュア 5: Moku:Pro マルチインストゥルメントモード構成はテストと検証に使用されます。

AWG を使用して、方程式波形タイプを使用してチャープ波を定義します。定義式を式 3.1.7 に示します。

フィギュア 6: AWG で生成されたチャープ波、チャンネル A (赤) はチャンネル B (青) の帯域幅の 2 倍です。

AWG は、200 Hz の繰り返し率とパルス変調を使用してチャープ波形を生成し、チャープパルスを生成しました。チャネル A のチャープ波形の等価帯域幅は 40,000 Hz です。したがって、null 間の幅が最小になることが予想されます。 2Δ𝑡 チャンネル A と B を組み合わせた波形は次のようになります。

FIR フィルターは、式 (3.1.10) に従って、チャープ波の値を時間的に反転した値を持つカーネルをロードすることにより、整合フィルターとして構成されました。 FIR フィルターの設定を以下に示します。図7。入力チャープ波の幅とサンプリング周期によってフィルター係数の数が決まります。

AWG 波形と FIR フィルターカーネルの長さは同じで、カーネルは生成された波形と同じ形状を共有します。したがって、チャネル A の FIR フィルターの方程式は、方程式 3.1.10 のように書くことができます。

フィギュア 7: FIR フィルタービルダーチャネル A の構成。

これで、AWG と FIR でそれぞれ送信波形生成と整合フィルタリングが設定され、パルス圧縮の効果を調べることができます。赤い曲線はチャンネル A の整合フィルターの出力を示し、青い曲線はチャンネル B の出力を示します。青い曲線の幅は赤い曲線の 3.1.8 倍であり、以前の結果が裏付けられ、時間分解能が高いことが証明されています。フィルター出力は帯域幅に反比例します。最初の XNUMX つのヌル間の距離は、式 XNUMX の定理と一致します。

図 8: Moku:Pro に基づくパルス圧縮実験。赤い曲線は青い曲線の帯域幅の 1 倍の帯域幅を持ち、赤い曲線の距離分解能は青い曲線の 2/XNUMX です。

フィギュア 8: Moku:Pro に基づくパルス圧縮実験。赤い曲線は青い曲線の帯域幅の 1 倍の帯域幅を持ち、赤い曲線の距離分解能は青い曲線の 2/XNUMX です。

この時点で、理論とシミュレーションが完了しました。次のステップでは、実際のノイズを含むチャープパルスに整合フィルタリングを適用します。に示された結果は、図10 整合フィルタが大きなノイズパワー (-73.98 dBm) と小さな信号パワー (-93.46 dBm) に対して良好に機能することを示しています。

フィギュア 9: 実験装置 of さえずりノイズの多い環境ではマッチドフィルターを使用します。

フィギュア 10: マッチドフィルタに入力される受信信号のパワー(青)とマッチドフィルタ出力(赤)。整合フィルタ出力電力のスパイクは、受信信号では肉眼では見えないにもかかわらず、チャープの到着時間を明確に示しています。

パルス圧縮の興味深い特性が、次の解析によって明らかになります。図8。より広い帯域幅のチャープ波の整合フィルターの出力の最小ヌル間幅は 25 マイクロ秒、パルス幅は 5 ミリ秒です。したがって、整合フィルタは、25 マイクロ秒を超える時間距離を持つ XNUMX つの重なり合う反射チャープ波を区別できます。 図11および12 Moku:Pro の実験結果を表示します。 図11 は、ノイズのない検証の実行を示しています。2 つの重複するチャープが青で示され、整合フィルターの出力が赤で示されています。 図12 は同じ実験を示していますが、ノイズの多いチャネルでチャープが受信されています。どちらの場合も、25 つのチャープの到着時間は互いに明確に区別されており、XNUMX us 離れていることが正確にわかります。曖昧さ関数にゼロ以外のサイドローブが存在するため、検出された時間間隔は送信された時間間隔からわずかな変動を示す可能性があることに注意してください。

図 11: 帯域幅と時間幅は同じですが、時間オフセットが 25 us である 25 つのオーバーラップするチャープパルス (青)。整合フィルターの出力は、チャープ間の XNUMX us の時間を正確に回復します (赤)。

フィギュア 11: Two 重複するチャープパルス同じ帯域幅と時間幅で, 焙煎が極度に未発達や過発達のコーヒーにて、クロロゲン酸の味わいへの影響は強くなり、金属を思わせる味わいと乾いたマウスフィールを感じさせます。 a 25 us （青）を選択します。マッチドフィルター出力を正しく回復します 25 us 時間の間にチャープ（赤）.

フィギュア 12: M2 つの重なり合うチャープ波の一致したフィルター出力（赤）, の受信信号フィルタリング前（青）.

波形トリガ

オシロスコープの一般的な機能であるデジタルパターントリガには、受信したデジタル信号に対して論理演算を実行し、特定のパターンに基づいてオシロスコープをトリガすることが含まれます。たとえば、デジタル信号の下位 8 ビットが High の場合にのみトリガするようにオシロスコープを設定できます。この機能は、さまざまなシナリオにおけるデジタルシステムの動作を分析するために重要です。

ただし、チップ障害挿入やサイドチャネル解析などのアプリケーションでは、通常、信号は無線周波数受信機から収集されるため、高レベルのノイズと低い信号振幅が発生する可能性があります。このような場合、デジタルパターントリガにより多数の誤警報が発生し、チップの動作に関する誤った情報が与えられる可能性があります。

デジタルパターントリガーの問題に対処する 1 つの解決策は、波形トリガーを使用することです。波形トリガでは、整合フィルタを使用して入力アナログ信号を予想波形と継続的に比較し、予想波形が表示されたときにトリガーイベントを生成します。

従来のオシロスコープは、このような波形トリガに対して十分な柔軟性を備えておらず、代わりに専用の「トリガボックス」[4]が必要です。一方、マルチ計測器モードを備えた Moku:Pro を使用すると、FIR フィルタービルダーとオシロスコープ計測器を同時に展開して、波形トリガとオシロスコープ測定を行うことができます。の波形 図13 Beckers et al. から再作成されます。【4] マイクロプロセッサが Advanced Encryption Standard (AES) を使用してデータパケットをエンコードしているときに捕捉された電源レールの異常を示しています。このような操作の検出は、フォールト挿入攻撃を開始したり、後の分析のために補助データをサンプリングしたりするために使用できます。

Beckers et al. 【4] は、トリガーアルゴリズムの前に包絡線検出器を使用することで結果を改善しました。このような操作は、Moku Cloud Compile (MCC) を使用して単純なカスタムロジックを構築し、FIR 計測器の前にデプロイすることで、Moku:Pro 上で完了できます。

フィギュア 13: AES 単一実行パターン

波形トリガがサンプリングと補助データの記録を開始する場合、ユーザーはオシロスコープで表示されるトリガイベントが発生することを好む場合があります。 start 一致した波形の終わりではなく、その波形の部分です。この場合、追加の FIR フィルターチャネルを「オールパス」構成でセットアップし、整合フィルターの長さに等しい純粋な時間遅延を導入することができます。

図14 オシロスコープ (青) で見られるように、FIR フィルタービルダーによるトリガー信号の生成が成功していることを示しています。さらに、FIR フィルタービルダーは、フィルターされていない入力信号を正確に遅延させ、ユーザーが後で調べるためにトリガー波形全体をキャプチャできるようにします。に示されているシミュレーション結果は、図14 (a) は、610 kSa/s の遅いサンプリングレートで低速組み込みプロセッサの波形を使用して取得されました。 図14 (b) は、サンプリングレート 10 MSa/s の最新の ARM プロセッサ波形を使用して得られた結果を示しています。入力信号の SNR が低いにもかかわらず、図14 (a) では、整合フィルタ出力 SNR が SNR を上回っていることが注目に値します。図14 (b) FIR タップ数の増加とノイズ帯域幅の減少によるもの。高速波形キャプチャ中に正確なトリガを確実に行うには、プリアンプの搭載が不可欠です【4]。さらに、整合出力のパワー (オレンジ色) を利用して検出精度を向上させることは、MCC を使用して簡単に実装できます。

フィギュア 14: オシロスコープによってトリガーされます。マッチドフィルター出力（青）. モミ–d遅れた信号 (赤). 整合フィルター出力のパワー (オレンジ色)。

まとめ

このアプリケーションノートは、検出に最適な受信フィルターとして整合フィルターの使用をサポートする理論的および経験的な証拠を提供します。既知の波形の到着時刻。導入されたコンセプトを検証するために、Moku:Pro マルチインストゥルメントモードを使用して一連の実験を実施しました。　任意波形発生器、および　信号を送信および検出するための FIR フィルタービルダー。さらに、この研究では、信号処理における整合フィルタの有効性を強調するために、通信、レーダーパルス圧縮、および波形トリガ領域での整合フィルタの使用を調査しています。得られた結果は、Moku:Pro の能力を実証しています。受信イベントを確実に検出するへの, 大きなノイズ電力が存在する場合でも。

参考文献

【1] ,warBP Lathi と Z. Ding、最新のデジタルおよびアナログ通信システム、インターナショナル第4版。電気およびコンピュータ工学のオックスフォードシリーズ。ニューヨーク・オックスフォード：オックスフォード大学出版局、2010 年。

【2] ,warMA リチャーズレーダー信号処理の基礎、第2022版。ニューヨーク：マグロウヒル、XNUMX年。

【3],war BR Mahafza、Matlab® を使用したレーダーシステムの解析と設計、第 3 版。

【4] A. Beckers、J. Balash、B. Gierlichs、および I. Verbauwhede、「波形マッチングベースのトリガシステムの設計と実装」建設的なサイドチャネル分析と安全な設計、F.-X. Standaert および E. Oswald 編、Lecture Notes in Computer Science、vol. 9689. チャム: Springer International Publishing、2016、184–198 ページ。土井: 10.1007/978-3-319-43283-0_11。

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