Moku:Proのマルチ機器モードでは、レーザーロックボックスを使用してレーザーを光キャビティにロックしながら、s 周波数応答アナライザー (FRA) を使用することで、ボード線図も測定できます。追加のテスト機器や配線は不要です。誤差信号に外乱を注入し、FRAで伝達関数を測定することで、閉ループゲイン、位相余裕、ループ、妨害排除能力を確認できます。 FRAとレーザーロックボックスの切り替えが素早くでき、PIDパラメータの調整、ループパフォーマンスの最適化、安定化、外乱抑制の最大化を簡単に実現できます。
分子物理学や原子物理学分野などの高精度測定では、長期安定性が優れているため、アクティブ周波数ノイズ抑制機能を備えたレーザー システムが広く使用されています。安定したレーザーロックを実現するには、次のような測定で高度に最適化されたフィードバックコントローラーが必要です。1) 制御ループ伝達関数。ループの安定性を維持するためにユニティゲイン周波数を低く保ちながら、低周波数で十分なゲインを確認。 2) 外乱除去。外乱がレーザーに結合され、システム全体を通過した後に検出された場合に受ける周波数の関数としての応答。
伝達関数は通常、設定された周波数範囲にわたるループのゲインと位相シフトを表すボード線図としてプロットされます。閉ループ外乱除去を測定する際の主な課題は、フィードバック制御を中断せずにノイズを注入することです。通常、システムのセットアップは非常に複雑で、注入方法としてのノイズ源と、応答を測定するためのネットワークアナライザが必要です。
このアプリケーションノートでは、レーザー安定化システムの開ループと閉ループの特徴であるMoku:Proのマルチ機器モードの使い方を説明します。 Moku:Proでは、レーザーを共振器にロックし、外乱を注入し、同時に開ループ、閉ループ、外乱の伝達関数を測定することができます。PIDパラメータを調整して、ループ構成の最適化、安定化、外乱抑制の強化、周波数ノイズの抑制を実現します。Moku:Proは、レーザーの安定化と特性評価のためのコンパクトで効率的なソリューションを提供します。
フィードバック制御システムの基本構造
レーザーロックシステムをより深く理解するには、まず一般的なフィードバック制御について簡単に説明することから始める必要があります。このセクションの外乱除去方程式を解くことで、外乱を注入する場所と、ポンドドレバーホール（PDH）法でループ応答を調べる場所を決定できます。
一般に、制御システムは、開ループ制御システムと閉ループ制御システムの２種類に分類できます。主な違いは、開ループ制御システムの制御アクションではシステムの出力に依存しないのに対し、閉ループ制御システムの制御アクションではシステムの出力に依存するということです [１]。一般的なフィードバック制御ループの基本的な考え方は、現在の動作点と基準値の差を誤差信号として使用して、一定の設定値で動作するシステムの出力を維持することです [１]。レーザー安定化のためのポンドドレバーホール（PDH）法では、キャビティ反射を利用してエラー信号を生成し、そのエラー信号がレーザーにフィードバックされて、最小限のレーザー周波数ノイズで特定の周波数で発振する光源を維持します。これは閉ループ制御と見なされます [２]。基本的なフィードバック制御システムは通常、図１に示すように、プラント (制御対象)、センサー (プラントの出力測定)、コントローラー (フィードバックの入力生成) の３つのコンポーネントで構成されます。
図1：典型的なフィードバック制御システムのブロック図。プラント (P)、特定の信号を測定するセンサー (S)、プラントへの入力を生成するアクチュエーター/コントローラー (C)の３つの主要なコンポーネントで構成される。
ラプラス変換を使用して制御システムの伝達関数を導き出すことができます。これは、特定の時間領域信号 f(t) に対する F(s) として定義されます。
図１に示すシステムでは、３つのコンポーネントのそれぞれに独自の伝達関数があり、プラント P(s)、センサーS(s)、コントローラーC(s) として表記されています。以下の方程式では、計算を単純化するために、追加の内部信号を加え、U(s)と表記しています。 X(s) の入力信号を使用すると、次のようなシステムを通過した後の出力信号を計算できます。
式 (2) と (3) によると、フィードバックシステムの伝達関数 (H(s)) は、入力のラプラス変換に対する出力のラプラス変換の比によって次のように導出されます。
ここで、C(s)P(s)S(s) はシステムの開ループゲイン (リターン比とも呼ばれる) で、式 (4) は閉ループゲインと呼ばれます。これまでの分析は信号の変換に焦点を当てていますが、実際のケースではノイズの抑制の方が重要です。ノイズはループ内のどこからでも導入される可能性がありますが、ここではプラントから導入されるノイズを考慮します (他のノイズ源も同様の手順で解析できます)。ノイズ (N(s)) を分析に取り入れると、システム出力は以下のように変換されます。
制御ゲイン (C(s) -> ∞) が大きいシステムの場合、システムの出力は入力に近づき、ユニティゲインとも呼ばれます。外乱によってプラントに導入される騒音も大幅にゼロに向かって抑制されています。このような外乱の伝達関数は外乱除去 (または感度関数) とも呼ばれ、プラントの出力に現れる外乱に対する制御システムの感度を特徴付けます。開ループ伝達関数と同様に、外乱除去も周波数に依存します。外乱除去の振幅がユニティゲインを超えると、ノイズの抑制効果がなくなるため、対応する周波数はユニティゲイン周波数と呼ばれます。さらに重要なのは、開ループゲインの位相が180度 (1 + C(s)P(s)S(s) = 0 の場合の閉ループの極) に達すると、ノイズが増幅され、特に C(s)P(s)S(s) が-1 に近づくと、システムが不安定になります。この転換点は、位相余裕と呼ばれるフィードバックシステムのもう１つの重要なパラメータです。制御ループの帯域幅はユニティゲイン周波数と位相余裕の両方によって制限され、位相余裕がユニティゲイン周波数よりも低い周波数で発生した場合、システムを安定させることはできません。
レーザーによるフィードバック制御
以下のレーザー安定化システムは、前のセクションで説明したフィードバック制御ループに相当します。このアプリケーションノートでは、レーザーはポンドドレバーホール（PDH）法を使用したフィードバック制御ループの光共振器で安定化されています。PDH法の詳細については こちら図 2 は、内部PZTアクチュエータと組み合わせた外部サーボによって形成される、レーザー安定化プロセスのフィードバックループを示しています。
図2： レーザー波長を空洞共振の範囲内に合わせることを概念的に表したフィードバック制御ループのブロック図。PIDコントローラーは、レーザー内のPZTトランスデューサーであるアクチュエータを制御する。
安定化システムは、レーザーがプラントであり、その周波数がシステムの出力 (Y(s)) であると解釈できます。システムが安定化しようとする設定値は、基準共振器の共振周波数です。出力は光周波数弁別器で設定値と比較されます。 センサーは、光学系と光電子系を含むこれらの信号間の差 (S(s)) を測定します。その結果、コントローラーによってさらに処理されるエラー信号が生成されます。通常、コントローラーはサーボ(C(s))とも呼ばれ、プラントの機能に対応し、位置誤差を低減し、作動時のオーバーシュートを最適化するための制御信号を提供します。ここで使用されるレーザー (プラント) は通常、制御信号に従い、内部PZTトランスデューサを通じて波長を変えることのできるチューナブルレーザーです。 したがって、レーザーに制御信号が伝送されると、最終的な出力波長が生成されます。最後に、この出力がフィードバックされ、フィードバック信号が更新されます。
安定したフィードバックと十分なノイズ抑制を確保するには、アクチュエータの応答、コントローラの応答、PID設定を慎重に実装する必要があります。それをよりよく理解するためには、外乱除去率を測定することで、システム全体としての閉ループ応答を特徴づけることができます。これは、 Vinポイントにスイープ信号を注入し、 Voutで出力を抽出することで実現できます。対応する周波数応答は以下のように計算されます。
ここで、C(s)、P(s)、S(s) は、コントローラー (サーボ)、プラント(PZT アクチュエータ)、センサーの動作を示しています。式6は外乱除去を示し、式7は相補感度関数を表し、式8は制御システムの開ループゲインを示しています。
実験装置
この実験では、Moku:Proがレーザーロックボックスとして機能するだけでなく、システムの閉ループ応答としても機能します。図３は完全なシステムセットアップを表し、図４はマルチ機器モードの構成を示しています。今回、目的を達成するために、４つの機器を次の４つの独立したスロットに配置しました： レーザーロックボックス、ロックインアンプ、PIDコントローラー、周波数応答アナライザ
図3：レーザー安定化システムのループ内外乱除去を特徴付ける実験装置。外乱除去は、周波数応答アナライザを使用して直接測定・生成され、レーザーはMoku:Proのレーザーロックボックスを使用して外部基準共振器にロックされる。注入または加算器には、0 dB 比例ゲイン設定のPIDコントローラー機器を使用。
図4： マルチ機器モードでのMoku:Proの設定。 ４つのスロットは完全に独立しているため、スロットに追加される機器の順序は重要ではない。
外乱は、エラー信号の復調後、コントローラに伝搬する前に注入されます。つまり、ロックインアンプ（LIA）は、アウト1を通して電気光学変調器（EOM）への変調信号を生成し、エラー信号を復調します。レーザーロックボックス（LLB）は、復調プロセスをスキップし、レーザーへのサーボ信号または制御信号のみを供給します。LLB内の高速PIDコントローラーからのOut 2は、レーザーの周波数を微調整するためにレーザーのピエゾに直接接続され、Out 3はレーザーの温度制御に接続されています。
同時に、周波数応答アナライザ (FRA) で閉ループ外乱除去を測定し、掃引正弦波を発生させ、PID コントローラ機器を加算器として使用してインループ信号(In 1)に注入しました。この連結を実現するために、PIDコントローラを加算器として設定し、入力マトリクスを次のように設定しました。 
ここでは、比例ゲインを0 dB と設定しています。加算器の出力は ２つの経路に分けられ、１つはレーザーロックボックス用のエラー信号、もう１つは FRA のチャンネルBに接続され、閉ループ周波数応答を測定しました。FRAのチャンネルAは、正弦波を注入する前のループ内周波数ノイズを記録しました。
LLB はサーボアクションを提供しました。 PDH エラー信号はランプスキャンによって監視され、その後、共振器がスキャン範囲の中央に近づくように低速温度オフセットを調整しました。次に、システムを安定させる前に、過剰補償を回避するために積分器の飽和がオンになりました。次に、キャリアのゼロクロス点をロック点として選択し、高速 PID コントローラーを作動させる「ロックアシスト」機能を使用してロックしました。最後に、積分器の飽和を無効にして、完全な積分器が低周波数でより多くのゲインを獲得できるようにしました。レーザーロックボックスの詳細については こちらをご覧ください。
レーザー波長を共振器に合わせた後、対象の機器をFRAに切り替えました。測定は (In ÷ Out) で構成され、両方のチャネルで十分に小さな出力信号 (5 mVpp) が設定されました。対象の周波数範囲全体にわたって周波数ソースをスイープすることにより、式６～ ８に関連する伝達関数を生成しました。
実験結果
図５の結果をご覧ください。
図5： 測定された伝達関数。全体的な閉ループ応答 (赤)、閉ループ外乱除去 (青)、レーザーロックシステムで算出された開ループゲイン (オレンジ) 。外乱除去のユニティゲイン周波数は約24 kHz。
赤色は測定された相補伝達関数 (式７) を示し、青色は外乱除去 (式６) を示しています。演算チャネル (ChA ÷ ChB) を使用することで、開ループを動的に計算できます。オレンジ色は、図５の伝達関数です。青色 (またはオレンジ色) から、ロックループのユニティ ゲイン周波数は最大約２４kHzで、位相余裕は９０度をわずかに超えていることがわかります。このシステムのロッキング帯域幅制限は、PZTの機械的共振によって決まります。プロットから、約 ６３kHzで機械的共振があることがわかります。したがって、さらにシステムをさらに高いゲインにすると、共振発振が励起状態に移る可能性があります。これは、この特定の周波数ポイントで正帰還をもたらし、システムを不安定にする可能性があります。
さらに、オープンループ応答（オレンジ色）から、低周波のゲインが６０に達していることがわかります。これは青色の-６０の摂動抑制とエコーしており、LLB装置がレーザー周波数ノイズを十分に抑制し、安定したロックを保持するのに十分なサーボゲインを提供できることを示しています。
まとめ
Moku:Proの柔軟なFPGA型アプローチは、従来の固定機能テストや測定ハードウェアの多くの欠点に対応しています。FPGA型アーキテクチャは、測定器を動的に切り替える機能を提供しており、LLBで安定したロックを維持しながら、FRAでレーザーロックループの伝達関数を評価するなど、複数の測定器を同時に使用することも可能です。マルチ機器モードは、ループ構成の最適化プロセスをより簡単かつ効率的にします。また、直感的なユーザーインターフェースにより、実験の複雑さを劇的に軽減し、より身近で柔軟なソリューションとなっています。
さらに、このアプリケーションノートでは、PDH法を用いた例を示していますが、この制御ループ応答の検証方法は、DCロッキング、フリンジサイドロッキング、チルトロッキングなどの他のロッキング技術にも適用でき、レーザー周波数安定化分野における実用的なアプリケーションの幅が広がります。
謝辞
実験の詳細、Moku:Proの使用説明、フィードバックを提供してくださったAndrew Wade氏、Kirk McKenzie氏、およびオーストラリア国立大学に心よりお礼申し上げます。オーストラリア国立大学での実験では、ARC Centre of Excellence for Gravitational Wave Discoveryの支援を受けました。
参考文献
[1] Doyle, J. C., Francis, B. A., and Tannenbaum, A. R. (2013). Feedback control theory. Courier Corporation.
[2] Black, E.D., 2001. An introduction to Pound–Drever–Hall laser frequency stabilization. American journal of physics, 69(1), pp.79-87.
